El átomo de Hidrógeno
El hidrógeno es el elemento más simple que existe, al constar únicamente de un protón como núcleo y un electrón como corteza. La ecuación de Schrödinger que representa a este sistema es la siguiente:
Schröndinger propuso una ecuación de onda para explicar el movimiento de partículas subatómicas. Su idea era describir cualquier partícula con propiedades de onda mediante una ecuación matemática denominada función de ondas (ψ).
SIGNIFICADO FÍSICO DE FUNCIÓN DE ONDA (Ψ y Ψ2)
Función de onda: Ψ describe las propiedades ondulatorias de la partícula (electrón).
Es simplemente una función matemática.
No es un observable. Carece de significado físico
Puede ser real o imaginaria (en sentido matemático).
si es real corresponde a la amplitud de la onda (puede ser + o -)
Densidad de probabilidad: Ψ2 es la probabilidad de encontrar al electrón en un pequeño elemento de volumen (dV).
NODO: es la zona donde la función de onda vale 0
Función de onda: Ψ
Densidad de probabilidad: Ψ2
Soluciones de la función de ondas
Condiciones que debe cumplir Ψ para ser una solución aceptable:
-UNIVOCA (un único valor en cada punto).
-CONTINUA (la probabilidad no puede cambiar bruscamente).
- en ningún punto puede ser igual a 1
- debe ser 0 para r = infinito
-NORMALIZADA:
La cuantización de la energía E viene determinada por las condiciones límite impuestas a Ψ.
Orbital: cada una de las funciones de ondas monoelectrónicas que describen el comportamiento del electrón. Son las soluciones de la ecuación de Schrödinger no confundir con las orbitas del modelo de Bohr.
Transformación en coordenadas polares de Ψ
Al ser este un sistema con simetría esférica, es más conveniente utilizar coordenadas
polares, tenemos que transformar las coordenadas cartesianas en coordenadas polares:
x2 + y2 + z2 = r2
x = r · sen θ· cos φ
y = r · sen θ· sen φ
z = r · cos θ
Y de esta forma se pasa de una función de ondas del tipo Ψ(x,y,z) a una del tipoΨ(r,θ,φ).
La ecuación de Schrödinger en coordenadas polares:
Esta fórmula tan compleja se puede desglosar en:
Función de Onda Función de Onda Radial Función de Onda Angular
La resolución de la ecuación de ondas requiere introducir ciertos parámetros que son los números cuánticos:
La resolución de la ecuación de Schrödinger descrita anteriormente conduce a la obtención
de tres números cuánticos designados como n, l y ml.
El primero de ellos, n, se denomina número cuántico principal y puede tomar valores enteros desde 1 hasta infinito (n = 1, 2, 3…). Relacionado con la energía y el tamaño de los orbitales.
El segundo, l, es el número cuántico del momento angular orbital (o número cuántico
azimutal) y sus valores varían entre 0 y n-1 (l = 0, 1, 2,…, n-1). Caracteriza la forma de los orbitales atómicos, estado s p d f g.
Finalmente, ml se conoce como el número cuántico del momento magnético, y toma valores comprendidos entre -l y l, ml = -l…,0…,+l (de unidad en unidad).
Cada número cuántico caracteriza a una propiedad que está cuantizada en el electrón, es decir, que sólo pueden presentarse en determinados valores: n define la energía, l el momento angular orbital y ml la orientación del momento angular. Las energías permitidas para el electrón en el átomo de hidrógeno dependen sólo y exclusivamente del número cuántico n y vienen dada por la expresión:
, donde n = 1, 2, 3,..
R es la constante de Rydberg, por lo que nos queda:
E = -13.6 / n2 (en eV)
La dependencia de E con la inversa de n2 produce una convergencia muy rápida de los niveles de energía a altos valores de E. El nivel de energía cero ocurre cuando n es infinito, situación que corresponde a una separación infinita entre el electrón y el núcleo, es decir, un átomo ionizado.
Por encima de este nivel de energía cero el electrón se comporta como una partícula libre que puede viajar con cualquier velocidad y que posee cualquier valor de energía.
Capas, subcapas y orbitales
Cada combinación de los números cuánticos n, l y ml describe una solución de la ecuación de ondas. La solución más simple es aquella en la que n = 1, l = 0 y ml = 0, Ψ(1,0,0), y describe al electrón en el átomo en su estado fundamental (de menor energía).
Cada una de estas funciones de onda para el átomo de hidrógeno corresponde a un orbital atómico. En un átomo de hidrógeno todos los orbitales que tienen el mismo valor del número cuántico principal n tienen asociado el mismo valor de la energía y se dice que son orbitales degenerados.
El número cuántico principal define una serie de capas del átomo, o conjunto de orbitales con el mismo valor de n y por tanto de la energía.
Los orbitales que pertenecen a cada capa se clasifican en subcapas que se distinguen por el valor del número cuántico l. Relacionado con la forma del orbital.
Así, la capa n = 1 sólo contiene una subcapa con l = 0; la capa n = 2, posee dos subcapas, una con l = 0 y otra con l = 1; la capa n = 3 posee tres subcapas (l = 0, l = 1 y l = 2) y así sucesivamente.
Por motivos históricos, se emplean letras para designar las distintas subcapas que dependen del valor del número cuántico l.
Una subcapa de número cuántico l consta de 2l+1 orbitales individuales que se distinguen entre sí por el valor del número cuántico ml, el cual puede adoptar 2l+1 valores diferentes,
ml = l, l-1… 0…-l. El número cuántico ml especifica la componente del momento angular orbital en un eje arbitrario, generalmente el eje z que pasa a través del núcleo.
En términos clásicos ml denota la orientación del orbital ocupado por el electrón.
La subcapa p contiene 3 orbitales que se distinguen por los valores ml = 1, 0, -1.
La subcapa d consta de cinco orbitales caracterizados por ml = 2,1,0,-1,-2.
La siguiente tabla muestra las distintas combinaciones posibles de estos tres números cuánticos hasta n = 2.
Cada conjunto de 3 números cuanticos n, l, ml, identifica univocamente un orbital
La función de onda: Parte radial y parte angular
Como se ha mencionado anteriormente, el potencial del núcleo del átomo tiene simetría esférica y la resolución de la ecuación de Schrödinger puede llevarse a cabo mediante el empleo de coordenadas polares.
De esta forma se obtienen funciones de onda para cada triada de valores de n, l y ml. Estas funciones de onda están compuestas por varios términos
que pueden agruparse de la siguiente forma:
La función R(r) se denomina función de onda radial mientras que el producto Θ(θ) Φ(φ) es la función de onda angular.
Así pues, la representación de una función de onda requeriría un espacio de cuatro dimensiones, lo que hace inviable «visualizar» dicha función.
Por ello resulta útil estudiar por separado las dos funciones mencionadas más arriba: la función radial y la función angular.
Función de onda radial, función de densidad radial y función de probabilidad radial.
Funciones radiales
De forma general, la función de onda radial de orbitales hidrogenoides es una expresión del tipo siguiente:
donde a0 es el radio de Böhr (0.53 Å) y r = 2Zr/na0 (n = nº cuántico principal).
Así, la principal diferencia entre distintos orbitales se produce en f(r). Son función de la distancia al núcleo (r). Dependen de los números cuánticos n y l.
Nodos radiales [R(r)=0] : nº nodos radiales = n- l -1
Penetración de los electrones: s > p > d > f
Informa acerca de la manera en que » varía en función de su distancia al núcleo
Definición de nodo: Aunque se suele definir como los puntos en los que la función de onda se anula, realmente Los nodos son los puntos en los que una función de onda cambia de signo.
Función de onda radial (orbitales s)
En la figura anterior se muestra la variación de la función de onda con el radio para orbitales de tipo s.
Todas las funciones radiales, para cualquier valor de n, presentan una característica común y es que decaen exponencialmente con la distancia hasta el núcleo.
Este decaimiento es tanto más pronunciado cuanto menor sea el valor del número cuántico n.
Otra característica es la posibilidad de que en algún punto la función de onda se anule.
Ello no sucede para un orbital 1s, pero sí para los orbitales 2s y 3s. Estos valores para los que la función de onda radial se hace cero se denominan nodos radiales.
En un nodo, la probabilidad de encontrar al electrón es siempre nula. Un orbital con números cuánticos n y l presenta n–l-1 nodos radiales, independientemente del valor de ml.
Así, el orbital 2s (n = 2, l = 0 y ml= 0) posee sólo un nodo radial mientras que el orbital 3s (n = 3, l = 2, ml = 0) presenta 2 nodos radiales.
Función de onda radial (orbitales p)
Esta figura muestra la función de onda radial de los orbitales 2p y 3p. El orbital 2p (n = 2, l = 1) no presenta nodos radiales porque su función de onda radial no se hace cero en ningún momento, salvo para r = 0.
Esta característica, la de R(r) = 0 para r = 0, es general para todos los orbitales que no sean de tipo s.
El orbital 3p presenta un nodo radial, como corresponde por sus valores de n (3) y l (1).
De la expresión de la función radial es posible obtener el valor o valores de r para los que la función de onda se anula. Así, por ejemplo, el nodo del orbital 2s aparece a r= 0.53 Å.
Funciones de densidad radial y de probabilidad radial para el orbital 1s.
Es conveniente recordar que la función de onda no tiene significado físico alguno, y que es el cuadrado de dicha función el que proporciona información acerca de la probabilidad de encontrar al electrón. La función R2 se denomina función de densidad radial, puesto que su valor es proporcional a la densidad electrónica.
La figura muestra la variación de esta función con respecto de la distancia para un orbital 1s.
La máxima densidad electrónica se produce en el núcleo, y va descendiendo al aumentar r.
Ello es aplicable para cualquier orbital s. Sin embargo, para el resto de orbitales (p, d, f), la función de densidad radial es nula para r = 0, pues R(r) = 0 en dicho punto.
Una forma alternativa de unir función de onda y probabilidad es calcular la probabilidad de encontrar al electrón en una esfera de radio r y espesor dr.
El volumen de esta capa de espesor infinitesimal sería dV. Partiendo del volumen de la esfera:
V = 4πr3/3
y pasando a diferenciales, queda
dV = 4πr2dr
Multiplicando a ambos lados por la función de densidad radial, R2(r):
R2(r)dV = 4πr2 R2(r)dr
que se denomina función de probabilidad radial (o función de distribución radial).
Este no es más que el resultado de aplicar la condición de Born, pues la probabilidad de encontrar al electrón en un elemento de volumen entre r y dr en un entorno esférico viene dada por la integral de Y2 para cualquier valor de los ángulos q y f:
Anteriormente vimos una gráfica donde aparecen representadas la función de probabilidad radial.
Debido a que para un orbital 1s la función de densidad radial decae exponencialmente con la distancia al núcleo mientras r2 aumenta, la función de probabilidad radial (4πr2R2) para dicho orbital posee un máximo como se muestra en la figura.
Es decir, existe una distancia r del núcleo en la que existe una mayor probabilidad de que se «encuentre» el electrón (no se olvide el principio de incertidumbre).
Para un orbital 1s de un átomo hidrogenoide el máximo de la función de probabilidad radial aparece a rmax = (a0/Z), rmax = 0,529 Å. Este valor concuerda exactamente con el radio de Böhr.
La distancia más probable para encontrar al electrón aumenta con el valor de n porque a medida que aumenta la energía del orbital existe una mayor probabilidad de encontrar al electrón en zonas más alejadas del núcleo.
Representación de la densidad de probabilidad de un orbital 1s:
(a) Diagrama de puntos: a mayor densidad de puntos mayor probabilidad de encontrar al electrón.
(b) Diagrama de contorno: sección transversal capa esférica en cuyo interior la probabilidad de encontrar al electrón es del 90% (radio 1,4Å para el 1s)
(c) Superficie límite que encierra probabilidad 90%. Envolvente
Así para el orbital 2s existen dos máximos de la función de probabilidad radial, uno de menor intensidad a r = 0.8 a0 y otro, de mayor intensidad, a r = 5.2 a0. También existe un nodo, donde la probabilidad de encontrar al electrón es cero, para r = 2a0.
El tamaño de los orbitales ns aumenta con el valor de n.
Tamaño de los orbitales ns: Radio (Å) de la superficie de contorno del 99% de probabilidad orbital radio (Å):
1s 2,20
2s 6,50
3s 12,00
La probabilidad de encontrar a un electrón próximo al núcleo es mayor si éste ocupa un orbital 1s que si es 2s o 3s.
electrón 3s más externo que 2s, y éste más externo que el 1s.
Orbital 3s
Como se observa en la siguiente figura existe una mayor probabilidad de encontrar al electrón en las cercanías del núcleo para orbitales de tipo s que para los de tipo p. Por ello se dice que los orbitales s son más penetrantes que los orbitales p, un concepto sobre el que se incidirá más adelante.
Función de onda angular: la «forma» de los orbitales atómicos.
La parte angular de la función de onda de un orbital hidrogenoide:
determina la forma de la nube electrónica, y en consecuencia del orbital, así como su orientación en el espacio. Esta función de onda es independiente del número cuántico principal n.
Función angular de un orbital s
La función angular que representa a un orbital de tipo s es independiente del ángulo, lo que supone que un orbital s presenta simetría esférica.
Este orbital se representa normalmente mediante una superficie esférica centrada en el núcleo. Los límites de esta superficie esférica definen la región del espacio para la cual la probabilidad de encontrar al electrón es elevada, generalmente superior al 75%. Cualquier orbital de tipo s se representa con una superficie esférica.
-El valor de la función de onda sólo depende de la distancia al núcleo pero no de los ángulos.
-La probabilidad de encontrar al electrón sólo depende de la distancia al núcleo pero no de la dirección.
Función angular de un orbital p
Las funciones de onda np muestran una cierta dependencia respecto de las coordenadas angulares.
Todos los orbitales con l >0 poseen amplitudes que varían con el ángulo.
Las representaciones gráficas más comunes de los tres orbitales p son idénticas y consisten en dos esferas tangentes en un punto (núcleo). La única diferencia estriba en la orientación de las mismas (según los ejes x, y o z).
Cada una de estas representaciones corresponde a un valor del número cuántico ml de los orbitales individuales.
Orbitales 2p:
-Los tres orbitales 2p son: perpendiculares entre sí presentan fuerte carácter direccional.
Los orbitales 2p no tienen nodos en la parte radial.
La superficie nodal se debe a la parte angular.
Su análisis es más complicado que en las funciones “ns”: Es necesario analizar separadamente la parte radial de la parte angular:
Parte radial
Los tres orbitales 2p tienen la misma parte radial. La parte radial siempre es positiva (no hay nodos): cuando r=0, R(r)2p=0 : a diferencia de los orbitales s.
Parte angular de la función de onda
» A diferencia de los orbitales ns no es una constante sino que muestra una dependencia con los ángulos.
La parte angular del orbital 2pz es la más fácil de analizar:
Orbital 2pz. Representación de la parte angular
Todos los puntos con el mismo valor de r y tienen el mismo valor de la función de ondas. Se obtienen dos esferas tangentes
Valores que toma la función 2pz en función del ángulo q :
Valores singulares de Y2pz:
Valores extremos para Y(θ)2pz:
-la función Ψ(θ)2pz toma valores máximos (+1 o -1) sobre el eje z ( θ=0,π).
-Para una distancia dada, la probabilidad de encontrar al electrón es máxima sobre el eje z.
Funcion de probabilidad del orbital 2pz: ( Ψ22pz )
-La probabilidad máxima de encontrar al electrón 2pz se presenta sobre los semiejes z a cierta distancia del núcleo a la cual es máxima la función R2(r)2pz
-El orbital 2pz tiene las zonas de máxima probabilidad electrónica orientadas y distribuidas según direcciones preferenciales del espacio, al contrario que los orbitales “ns”
-Todos los puntos del plano xy constituyen un plano nodal: Y2(θ)2pz =0
Diagrama de contorno del 2pz. Los contornos son las líneas del plano yz en las que Y2 (2pz) es constante; en tres dimensiones encierran el 50% y el 99% de la densidad de probabilidad total.
Orbitales p: Representaciones Ψ2. Son lóbulos alargados
- El Valor de Ψ2 es cero en el núcleo, aumenta hasta un máximo a cierta distancia (según el eje x, y o z) y luego disminuye al aumentar la distancia.
2. Los puntos representan la probabilidad y la densidad de carga del electrón en un plano que pasa a través del núcleo (p.e. el plano xz).
3. Superficie límite que encierra el 90% de probabilidad de encontrar al electrón 2px. La probabilidad disminuye hasta hacerse cero en el plano nodal yz.
Nodos en los orbitales p
Orbitales 2p:
-Los tres orbitales 2p son:
perpendiculares entre sí.
presentan fuerte carácter direccional.
-Los orbitales 2p no tienen nodos en la parte radial.
-La superficie nodal se debe a la parte angular:
Los orbitales p se representan dirigidos según los ejes x, y, z. En cada lóbulo se indica el signo de la Ψ2p (debido a la parte angular Y(θ)2p, ya que R(r)2p es positivo) y no deben confundirse con cargas eléctricas.
Orbitales 3p:
-Los tres orbitales 3p tienen la misma parte radial.
Los orbitales 3p tienen 1 nodo radial=n-l-1.
-La parte angular es la misma que los correspondientes a los 2p.
Los orbitales 3p tienen 1 nodo angular cada uno=L
Orbitales np:
-el tamaño aumenta en la serie: 2p<3p<4p…
-el número de nodos radiales de las funciones
np viene dado por n-2=n – L -1
-el número de nodos angulares es siempre L
-Los nodos totales=n-1
Orbitales d
Parte radial orbitales 3d:
R(r)3d es siempre >0
r=0 R(r)3d =0
r0 R(r)3d 0
No hay nodos radiales
Parte angular:
Orbitales 3d: Presentan 2 superficies nodales debido a la parte angular (l =2).
Las designaciones xy, xz, etc se relacionan con el número cuántico ml. El número de superficies nodales es igual al número cuántico l. Para los orbitales 3d hay dos superficies nodales angulares (las del orbital dz2 son cónicas).
función planos nodales
3dxy XZ, YZ
3dxz XY, YZ
3dyz XY, XZ
3dx2-y2 Bisectrices: XY-Z
3dz2 Superficie cónica
Diagramas de contorno en el plano xz de los orbitales 3dz2 y 3dxz
